Toán cơ bản Ví dụ

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ với $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}} \cdot \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.2

Nhân $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ với $\frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{(4 - \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.3

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{16 + 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.4

Rút gọn.

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $4 + \sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.5.2

Nâng $4 + \sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1} {(4 + \sqrt{5})}^{1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(4 + \sqrt{5})}^{2}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.6

Viết lại ${(4 + \sqrt{5})}^{2}$ ở dạng $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ .

$\frac{(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.7

Khai triển $(4 + \sqrt{5}) (4 + \sqrt{5})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 (4 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 + \sqrt{5})}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.1.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{5}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.1.3

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.1.4

Nhân $5$ với $5$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{25}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.1.5

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.1.6

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{16 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} + 5}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.2

Cộng $16$ và $5$ .

$\frac{21 + 4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.8.3

Cộng $4 \sqrt{5}$ và $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$

Bước 1.9

Nhân $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ với $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

Bước 1.10

Nhân $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}}$ với $\frac{4 - \sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{(4 + \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}$

Bước 1.11

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{16 - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 4 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Bước 1.12

Rút gọn.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Nâng $4 - \sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.13.2

Nâng $4 - \sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1} {(4 - \sqrt{5})}^{1}}{11}$

Bước 1.13.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{11}$

Bước 1.13.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{{(4 - \sqrt{5})}^{2}}{11}$

Bước 1.14

Viết lại ${(4 - \sqrt{5})}^{2}$ ở dạng $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.15

Khai triển $(4 - \sqrt{5}) (4 - \sqrt{5})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 (4 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (4 - \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.15.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.16

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.1

Nhân $4$ với $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 + 4 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.16.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.16.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{11}$

Bước 1.16.1.4

Nhân $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Bước 1.16.1.4.2

Nhân $\sqrt{5}$ với $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{11}$

Bước 1.16.1.4.3

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{11}$

Bước 1.16.1.4.4

Nâng $\sqrt{5}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{11}$

Bước 1.16.1.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{11}$

Bước 1.16.1.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{11}$

Bước 1.16.1.5

Viết lại ${\sqrt{5}}^{2}$ ở dạng $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{5}$ ở dạng $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{11}$

Bước 1.16.1.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{11}$

Bước 1.16.1.5.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Bước 1.16.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.16.1.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{11}$

Bước 1.16.1.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5^{1}}{11}$

Bước 1.16.1.5.5

Tính số mũ.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{16 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 5}{11}$

Bước 1.16.2

Cộng $16$ và $5$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5}}{11}$

Bước 1.16.3

Trừ $4 \sqrt{5}$ khỏi $- 4 \sqrt{5}$ .

$\frac{21 + 8 \sqrt{5}}{11} + \frac{21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{21 + 8 \sqrt{5} + 21 - 8 \sqrt{5}}{11}$

Bước 2.2

Cộng $21$ và $21$ .

$\frac{42 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}{11}$

Bước 2.3

Trừ $8 \sqrt{5}$ khỏi $8 \sqrt{5}$ .

$\frac{42 + 0}{11}$

Bước 2.4

Cộng $42$ và $0$ .

$\frac{42}{11}$

Bước 3

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{42}{11}$

Dạng thập phân:

$3.\overline{81}$

Dạng hỗn số:

$3 \frac{9}{11}$